数学ノート

自分用の数学メモ

区別できない L 個のものが並ぶときの場合の数

■区別できないもの \mathcal{l} 個を含むn個のものが並ぶときの場合の数

         \dfrac{n!}{\mathcal{l}!} 通り

【例1】4つの文字A,A,A,Bを一列にならべるときの場合の数
   →つまり(区別できない「A」3個を含む4個の文字が並ぶときの場合の数)
 
<Step1>4つの文字A,A,A,Bを一列に並べるときの場合の数は以下4通り
 ①AAAB
   ②AABA
   ③ABAA
   ④BAAA

<Step2>3つのAをA_{1},A_{2},A_{3}と区別して上記の②の並び方について考えると、
   1つの並び方に対して約6倍となる3!=3\times 2\times 1\times=6通り)
 A_{1}A_{2}BA_{3}
 A_{1}A_{3}BA_{2}
 A_{2}A_{1}BA_{3}
 A_{2}A_{3}BA_{1}
 A_{3}A_{1}BA_{2}
 A_{3}A_{2}BA_{1}
<Step3>以上を踏まえて、以下の様な計算となる
 \dfrac{4!}{3!}=\dfrac{4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1}=4 通り

【例2】5個の数字1,1,2,2,3のうちから3個の数字を取り出して並べるときの場合の数
<Step1>まず並べる3個の数字をPickUpする
   ※並び順は無視して要素の組み合わせのパターンだけ出す
 ①1,1,2
 ②1,1,3
 ③1,2,2
 ④1,2,3
 ⑤2,2,3

<Step2>①~⑤について順列を考える
①のとき  \dfrac{3!}{2!}=\dfrac{3\times 2\times 1}{2\times 1}=\dfrac{6}{2}=3 通り

②のとき  \dfrac{3!}{2!}=\dfrac{3\times 2\times 1}{2\times 1}=\dfrac{6}{2}=3 通り

③のとき  \dfrac{3!}{2!}=\dfrac{3\times 2\times 1}{2\times 1}=\dfrac{6}{2}=3 通り

④のとき  3!=3\times 2\times 1=6 通り

⑤のとき  \dfrac{3!}{2!}=\dfrac{3\times 2\times 1}{2\times 1}=\dfrac{6}{2}=3 通り

<Step3>①~⑤をあわせたのが答え
      3+3+3+6+3= 18通り