数学ノート

自分用の数学メモ

すごろくゲームの考え方①

【例題】
・原点０から出発し動く点Sがある
・サイコロを投げて3以上の目が出ると+2移動する。
・サイコロを投げて2以下の目が出ると-1移動する。

①サイコロを５回投げた後、S が 点1 にいる

    ・３以上の目 { 3 4 5 6 } が出る確率\cdots \cdots \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}

    ・２以下の目 { 1 2 } が出る確率\cdots \cdots \cdots  \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}  

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 Aのパターン\cdots \cdots \left ( +2 \right ) \times 5 + \left ( -1 \right ) \times 0= +10
 Bのパターン\cdots \cdots \left ( +2 \right ) \times 4 + \left ( -1 \right ) \times 1= +7
 Cのパターン\cdots \cdots \left ( +2 \right ) \times 3 + \left ( -1 \right ) \times 2= +4
 Dのパターン\cdots \cdots \left ( +2 \right ) \times 2 + \left ( -1 \right ) \times 3=+1
 Eのパターン\cdots \cdots \left ( +2 \right ) \times 1 + \left ( -1 \right ) \times 4=+4
 Fのパターン\cdots \cdots \left ( +2 \right ) \times 0 + \left ( -1 \right ) \times 5=+4

・S が 1 となるのは D のパターン・これを計算で求めると
　３以上の目\left ( +2 \right ) \cdots \cdots x 回
　２以上の目\left ( -1 \right ) \cdots \cdots y 回
    合計５回となるため、 x + y = 5
　\left ( +2 \right ) \times x + \left ( -1 \right ) \times y = 1
                          = 2x - y = 1     

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 ・３以上の目を「◎」と２以下の目を「×」として{ ◎ ◎ × × × }並び方の場合の数は
                     _5C_2または\dfrac{5!}{2!3!}

　\therefore    確率は  {_5C_2}\times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^2 \times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^3=\dfrac{40}{243}
 
②サイコロを６回投げた後、S が 原点にいる
　合計６回となるため、 x + y = 6
　\left ( +2 \right ) \times x + \left ( -1 \right ) \times y = 1
                          = 2x - y = 1    

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・３以上の目を「◎」と２以下の目を「×」として{ ◎ ◎ × × × × }並び方の場合の数は
                     _6C_2または\dfrac{6!}{2!4!}

　\therefore    確率は    {_6C_2}\times \left ( \dfrac {2}{3} \right )^2 \times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^4=15\times \dfrac{4}{9} \times \dfrac{1}{81}=\dfrac{20}{243}