反復試行（同じことを繰り返すときの確率）②

【例】４つのサイコロを投げる

　
①目の積が３となる

　・目の積が３ $\cdots\cdots 1\times 1\times 1\times 3$

・４回中１の目が{111,3}の並び方のとして１回出る $\cdots{_4C_1} \left ( または \dfrac{4!}{3!} \right )$ = 4通り
　・１の目が出る確率 $\cdots\dfrac{1}{6}$ これが３回で $\left ( \dfrac{1}{6} \right )^{3}$

・３の目が出る確率 $\cdots\dfrac{1}{6}$ これが１回

　つまり、 $\left ( \dfrac{1}{6} \right )^{3} \times \dfrac{1}{6}$ 　が　 ${_4C_1}$ (４通り）ある

　 $\therefore$ 確率は　 ${_4C_1} \times \left ( \dfrac{1}{6} \right ) ^{3} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{324}$

②目の積が２５となる

　・目の積が２５ $\cdots\cdots 1\times 1\times 5 \times 5$
・４回中１の目が２回、５の目が２回出る $\cdots{_4C_2} \left ( または \dfrac{4!}{2!2!} \right )$ = 6通り
・１の目が出る確率 $\cdots\dfrac{1}{6}$ これが２回で $\left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2}$
・５の目が出る確率 $\cdots\dfrac{1}{6}$ これが２回で $\left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2}$

　
　つまり、 $\left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2} \times \left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2}$ 　が　 ${_4C_2}$ (６通り）ある

　 $\therefore$ 確率は　 ${_4C_2} \times \left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2} \times \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{216}$

③目の積が１５となる
　・目の積が２５ $\cdots\cdots 1\times 1\times 3 \times 5$
　・４回中１の目が２回、３の目が１回、５の目が１回出るので
　　{１１３５}の並び方→同じ「１」が２つあるので $\dfrac{4!}{2!}$ 通り
　　※今回は１，３，５の３種類あるのでCの計算は使わない

　・１の目が出る確率 $\cdots\dfrac{1}{6}$ これが２回で $\left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2}$

　・３の目が出る確率 $\cdots\dfrac{1}{6}$ これが１回

　・５の目が出る確率 $\cdots\dfrac{1}{6}$ これが１回

　　つまり、 $\left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2} \times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}$ 　が　 $\dfrac{4!}{2!}$ (１２通り）ある

$\therefore$ 確率は　 $\dfrac{4!}{2!} \times \left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{108}$

③目の積が８となる

　・目の積が８の場合のパターン
　　パターン１： $1\times 1\times 2\times 4$
　　パターン２： $1\times 2\times 2\times 2$

　・パターン１のとき
　　（１，２，４の３種類あるのでCの計算は使わない）
　　同じ１が２つあるので　 $\dfrac{4!}{2!} \times \left ( \dfrac{1}{6} \right )^{2} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6}^{4}$