「勝負もの」の考え方

【例題】
・試合でＡがBに勝つ確率は $\dfrac{1}{3}$
・ AとBが試合をし、先に３勝した方を優勝とする。
・引き分けはないものとする

①３試合目にAの優勝が決まる確率
　 $\left( \dfrac{1}{3} \right )^{3} = \dfrac{1}{27}$

②４試合目にAの優勝が決まる確率

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・最初の３試合中Aが１敗する { × ◎ ◎} の並び方 $\cdots \cdots _3C_1=3$ 通り
・最初の３試合でAが勝つ確率は $\dfrac{1}{3}$ が２回なので $\cdots \cdots \left ( \dfrac{1}{3} \right )^2$

・最初の３試合でAが負ける確率 $\cdots \cdots 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$

・４試合目でAが勝つ確率 $\cdots \cdots \dfrac{1}{3}$

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③５試合目でAの優勝が決まる
　つまり最初の４試合でAが２勝２敗して５試合目でAが勝つ

　・最初の４試合でAが2敗する{ × × ◎ ◎ } の並び方 $\cdots \cdots {_4C_2}$

・最初の４試合でAが勝つ確率は $\dfrac{1}{3}$ が２回なので $\cdots \cdots \left ( \dfrac{1}{3} \right )^2$

　・最初の４試合でAが負ける確率は $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ が２回なので $\cdots \cdots \left ( \dfrac{2}{3} \right )^2$

　・５試合目でAが勝つ確率 $\cdots \cdots \dfrac{1}{3}$

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数学ノート