確率③_基本的な事例集（少なくとも~の場合の例題を含む）

【例】１個のサイコロを１回投げるという試行において
偶数の目または３の倍数の目が出る確率

　偶数の目がでる事象を $\color{blue}{A}$ とする
　　偶数の目が出る確率を $\color{blue}{P(A})$ とする
３の倍数の目が出る事象を $\color{blue}{B}$ とする
　　３の倍数が出る確率を $\color{blue}{P(B})$ とする

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よって偶然の目または３の倍数が出る確率は
$\color{blue}{P(A\cup B)}=\color{blue}{P(A)}+\color{blue}{P(B)}-\color{blue}{P(A\cap B)}$
$=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

【例】１個のサイコロを１回投げるという試行において
偶数の目または５の目が出る確率

　　　偶数の目がでる事象を $\color{blue}{A}$ とする
　　　偶数の目が出る確率を $\color{blue}{P(A})$ とする
　５の目が出る事象を $\color{blue}{C}$ とする
　　　５の目が出る確率を $\color{blue}{P(C})$ とする

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$\color{blue}{P(A\cup C)}=\color{blue}{P(A)}+\color{blue}{P(C)}$

$=\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

【例】１から１０までの番号のついた１０枚のカードから２枚のカードを取り出した時、
　　　２枚とも偶数の確率
　　　①同時に取り出す→順番がつかない→並び方は考えない
　　　　 $\therefore$ $PではなくCの計算$
②分母：１０枚から２枚取り出すので $_{10}C_2$
分子： 2,4,6,8,10の５枚から２枚取り出すので $_{5}C_2$
③２枚とも偶数である事象を $\color{blue}{A}$ とする
２枚とも偶数である確率を $\color{blue}{P(A)}$ とする
④ $\color{blue}{P(A)}=\dfrac{_5C_2}{_{10}C_2}$

$=\dfrac{\dfrac{5\times 4}{2\times 1}}{\dfrac{10\times 9}{2\times 1}}=\dfrac{10}{45}=\dfrac{2}{9}$

【例】1から10までの番号がついた10枚のカードから２枚のカードを取り出したとき
　　　少なくとも１枚は奇数である
※「少なくとも」とあった場合は余事象に注目する
　　　　以下２通りの解法を記載しているが【解法1】が余事象に注目した方法。
【解法2】は余事象を使わなかった場合(ステップ数が多い）

【解法1】
　　　① $全事象\color{blue}{U}とする$
$全事象が起きる確率は\color{blue}{P(U)}とする$ $\color{blue}{P(U)}=1$

②少なくとも１枚奇数ということは２枚とも偶数でなければよい事と同じ　　

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　　　③ $事象\color{blue}{A}（２枚とも偶数）の場合の数$
　　　　偶数のカード2,4,6,8,10の5枚から同時に２枚取り出すので $_5C_2$

　　　③ $事象\color{blue}{A}（２枚とも偶数）確率 \color{blue}{P(A)}$
分母：１０枚から２枚取り出すので $_{10}C_2$
分子：③より $_5C_2$
　　　　 $\therefore$ $\color{blue}{P(A)}=\dfrac{_5C_2}{_{10}C_2}=\dfrac{\dfrac{5\times 4}{2\times 1}}{\dfrac{10\times 9}{2\times 1}}=\dfrac{10}{45}=\dfrac{2}{9}$
④①~③より
$\color{blue}{P(\overline{A})}=\color{blue}{P(U)}-\color{blue}{P(A)}$
$=1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}$
　　　
　　　【解法2】
　　　①少なくとも１枚は奇数である状態とは以下の２パターン
　　　　２枚とも奇数の場合 $\cdots 事象\color{blue}{A}とする$
１枚奇数で１枚偶数 $\cdots 事象\color{blue}{B}とする$

② $事象\color{blue}{A}と事象\color{blue}{B}の場合の数$
　　　　 $事象\color{blue}{A}の場合の数$
　　　　1,3,5,7,9の５枚から同時に２枚取り出すので $_5C_2$
$事象\color{blue}{B}の場合の数$
奇数のカード1,3,5,7,9の5枚から1枚
　　　　偶数のカード2,4,6,8,10の5枚から１枚
　　　　以上より $_5C_1 \times _5C_1$

③ $事象\color{blue}{A}と事象\color{blue}{B}の確率$
　　　　分母：１０枚から２枚取り出すので $_{10}C_2$
分子： $事象\color{blue}{A}の場合の数$ または $事象\color{blue}{B}の場合の数$
　　　　 $\color{blue}{P(A)}=\dfrac{_5C_2}{_{10}C_2}$ $\color{blue}{P(B)}=\dfrac{_5C_1\times _5C_1}{_{10}C_2}$

　　　④ $事象\color{blue}{A}と事象\color{blue}{B}は同時に起こることはない$
$\therefore$ $求めるべき確率は\color{blue}{P(A)}+\color{blue}{P(B)}$ 　
$\dfrac{_5C_2}{_{10}C_2}+\dfrac{_5C_1\times _5C_1}{_{10}C_2}$

$=\dfrac{\dfrac{5\times 4}{10\times 9}}{2\times 1}+\dfrac{\dfrac{5\times 5}{10\times 9}}{2\times 1}=\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}=\dfrac{7}{9}$ 　

数学ノート

自分用の数学メモ

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