条件付き確率_① - 数学ノート

◆条件つき確率◆

・ある事象が起こったことが前提で別の事象が起こるような確率を条件つき確率という
・事象 $A$ を満たすことが前提での事象 $B$ が起こる確率を $P_A \left ( B \right )$ 　と表す

◆公式◆

ある試行における２つの事象 $A,B$ に対して $A$ が起こったことが前提で $B$ が起こる

条件付き確率は $P_A \left ( B \right )= \dfrac{P \left ( A \cap B \right )}{P \left ( A \right )}$ と表される

※変形して $P \left ( A \cap B \right )=P_A \left ( B \right )・P \left ( A \right )$ と表すこともできる

【例】１００人を調査した結果の表

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・上記の表の１００人の中から１人を選ぶとき・・・・・
・男子であるという事象 $\cdots \cdots 事象 A$
・毛深いという事象あるという事象 $\cdots \cdots 事象 B$

①事象 $A$ が起こる確率 $P \left ( A \right )$ を求める

　・男子は１００人中６０人より $P \left ( A \right ) = \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}$

②事象 $B$ が起こる確率 $P \left ( B \right )$ を求める

　・毛深い人は１００人中６６人より　 $P \left ( B \right ) = \dfrac{66}{100} = \dfrac{33}{55}$

③事象 $A \cap B$ が起こる確率 $P \left ( A \cap B \right )$ を求める

　・男子でかつ毛深い人は１００人中３６人より
　　 $P \left ( A \cap B \right ) = \dfrac{36}{100} = \dfrac{9}{25}$

④選ばれた人が男子であることが既にわかっていたときの
　その人が毛深い確率 $P_A \left ( B \right )$ を求める

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$\left ( i \right )$ 男子であることが既にわかっているので、男子６０人を全体として考え直す
　　※女子は原則なくなる
　　 $\therefore$ 男子６０人中毛深い人は３６人より $\cdots \cdots P_A \left ( B \right )=\dfrac{36}{60}=\dfrac{3}{5}$

$\left ( ii \right )$ 上記を公式 $P_A \left ( B \right )= \dfrac{P \left ( A \cap B \right )}{P \left ( A \right )}$ より導くと　

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　・①より $P \left ( A \right ) = \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}$ 　

・③より $P \left ( A \cap B \right ) = \dfrac{36}{100} = \dfrac{9}{25}$

　 $\therefore$ $P_A \left ( B \right )=\dfrac{\dfrac{9}{25}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{9}{25} \times \dfrac{3}{5}= \dfrac{3}{5}$

【参考】

　 $\therefore$ $P_A \left ( B \right )= \dfrac{P \left ( A \cap B \right )}{P \left ( A \right )}=\dfrac{P \left ( A \cap B \right )}{P \left ( A \cap B \right ) + P \left ( A \cap \overline{B} \right )}$