数学ノート

自分用の数学メモ

確率はいつ最大となるか？①

◆確率の最大値◆

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}$ を作って

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n} \gt 1$ ＆ $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} = 1$ ＆ $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} \lt 1$ を考える

【例題1】

ある試行において、それが $n$ である事象の確率を $P_n$ とする
　※（但し $n=0,1,2,3\cdots \cdots$ ）

　 $\dfrac{{P_n}+1}{P_n}= \dfrac{20-n}{2 \left ( n+1 \right )}$ が成立するとき、確率 $P_n$ が最大となる $n$ の値を求める

・ $\dfrac{{P_n}+1}{P_n}= \dfrac{20-n}{2 \left ( n+1 \right )}$

(i) $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} \gt 1$ ( f:id:ray88:20220206151310p:plain $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} \gt P_n$ ）のとき

f:id:ray88:20220206161748p:plain

　　 $\dfrac{20-n}{2 \left ( n+1 \right )} \gt 1$

$20-n \gt 2\left ( n+1 \right )$

$-3n \gt -18$

$n \lt 6$

$\therefore$ $n=0,1,2,3,4,5$

$\dfrac{{P_n}+1}{n} \gt 1$ つまり ${P_n}+1 \gt P_n$ となる

(ii) $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} = 1$ ( f:id:ray88:20220206151310p:plain $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} = P_n$ ）のとき

　　 $\dfrac{20-n}{2 \left ( n+1 \right )} = 1$

$20-n = 2\left ( n+1 \right )$

$-3n = -18$

$n = 6$

$\therefore$ $n=6$ で $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} = 1$ つまり ${P_n}+1=P_n$ となる

　　　　 $n=6$ のとき ${P_n}+1=P_n$ より ${P_7}=P_6$ となる

(iii) $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} \lt 1$ ( f:id:ray88:20220206151310p:plain $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} \lt P_n$ ）のとき

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$\dfrac{20-n}{2 \left ( n+1 \right )} \lt 1$

$20-n \lt 2\left ( n+1 \right )$

$-3n \lt -18$

$n \gt 6$

$\therefore$ $n=7,8,9,10 \cdots \cdots$

$\dfrac{{P_n}+1}{n} \lt 1$ つまり ${P_n}+1 \lt P_n$ となる

以上、(i) , (ii) , (iii) より

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$P_n$ が最大となるのは $n={P_6} ,$ $P_7$ のとき