確率はいつ最大となるか？②

◆公式◆

① $_nP_r=\dfrac{n!}{ \left ( n-r \right )!}$

②　 $_nC_r =\dfrac{n!}{ \left (n-r \right ) ! r !}$

【例】 $_8P_3= 8\times 7\times 6 = \dfrac{8 \times 7\times 6 \color{red}{\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}}{\color{red}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}} =\dfrac{8!}{5!}$
$\therefore$ $_8P_3=\dfrac{8!}{\left ( 8-3 \right )!}$

【例】 $_7C_3= \dfrac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1} = \dfrac{7 \times 6\times 5 \color{red}{\times 4\times 3\times 2\times 1}}{\color{red}{4\times 3\times 2\times 1}\times 3 \times 2 \times 1} =\dfrac{7!}{4!3!}$

$\therefore$ $_7C_3=\dfrac{7!}{\left ( 7-3 \right )!3!}$

【例題】
・ $1$ つのサイコロを $10$ 回投げる
・ $3$ の倍数の目が $n$ 回出る確率を $P_n$ とする。

① $P_n$ が最大となるときの $n$ の値を求める
　・ $3$ の倍数の目が出る確率 $\cdots \cdots\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
　・ $3$ の倍数以外の目が出る確率 $\cdots \cdots\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
・サイコロを $10$ 回投げて $3$ の倍数が $n$ 回出るときの確率
　　※確率はいつ最大となるか？の公式より

　　 ${P_n}={_{10}C_n}\times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^n \times \left ( \dfrac {2}{3} \right )^{10-n}$

$\therefore$ $P_n + 1 = {_{10}C_{n+1}} \times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^{n+1} \times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{9-n}$ 　　※ $_{10-(n + 1) = 9-n}$

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{{_{10}C_{n+1}} \times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^{n+1} \times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{9-n}}{{_{10}C_n} \times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^n \times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{10-n}}$

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{{_{10}C_{n+1}} \times \dfrac{1}{3} \times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^{n} \times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{9-n}}{{_{10}C_n} \times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^n \times \dfrac{2}{3} \times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{9-n}}$

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{{_{10}C_{n+1}} \times \dfrac{1}{3}}{{_{10}C_n} \times \dfrac{2}{3}}$

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{{_{10}C_{n+1}}}{{_{10}C_n} \times 2}$ $_{分子と分母に3をかけた}$

$\therefore$ $\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{{_{10}C_{n+1}} }{2\times {_{10}C_n} }$

公式 ${_nC_r}=\dfrac{n!}{\left ( n-r \right )!r!}$ 　より

${_{10}C_n}=\dfrac{10!}{\left ( 10-n \right )!n!}$

${_{10}C_{n+1}}=\dfrac{10!}{\{10- \left ( n + 1 \right )\} \left ( n + 1 \right )}=\dfrac{10!}{\left ( 9-n \right )! \left ( n+1 \right )!}$

上記を以下の式に代入する

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{\dfrac{10!}{\left ( 9-n \right )! \left ( n+1 \right )!}}{2\times \dfrac{10!}{\left ( 10-n \right )!n!}}$

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{10!}{\left ( 9-n \right )! \left ( n+1 \right )!}\times \dfrac{\left ( 10-n \right )!n!}{2\times 10!}$

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{10!}{\left ( 9-n \right )! \left ( n+1 \right ) \times n!}\times \dfrac{\left ( 10-n \right )\times \left ( 9-n \right )!n!}{2\times 10!}$

$\dfrac{{P_n}+1}{P_n}=\dfrac{10-n}{2 \left ( n+1 \right )}$

上記より
$\left ( i \right )$ $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} \gt 1$ 　のとき( f:id:ray88:20220206151310p:plain ${P_n}+1 \gt P_n$ ）
$\dfrac{10-n}{2 \left ( n + 1 \right )} \gt 1$

f:id:ray88:20220211170740p:plain

$10-n \gt 2 \left ( n+1 \right )$

$-3n \gt -8$

$n \lt \dfrac{8}{3}$

つまり　 $n=0,1,2$
$\therefore$ ${P_0} \lt {P_1} \lt {P_2} \lt {P_3}$

$\left ( ii \right )$ $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} = 1$ 　のとき( f:id:ray88:20220206151310p:plain ${P_n}+1 = P_n$ ）

$\dfrac{10-n}{2 \left ( n + 1 \right )} = 1$

$10-n = 2 \left ( n+1 \right )$

$-3n = -8$

$n = \dfrac{8}{3}$ （不適）

$\left ( iii \right )$ $\dfrac{{P_n}+1}{P_n} \lt 1$ 　のとき( f:id:ray88:20220206151310p:plain ${P_n}+1 \lt P_n$ ）　　

　　　 $\dfrac{10-n}{2 \left ( n + 1 \right )} \lt 1$

f:id:ray88:20220211171653p:plain

　　　 $10-n \lt 2 \left ( n+1 \right )$

　　　 $-3n \lt -8$

　　　 $n \gt \dfrac{8}{3}$

つまり　 $n=3,4,5 \cdots \cdots$

$\therefore$ ${P_3} \gt {P_4} \gt {P_5} \gt {P_6} \cdots \cdots$

$\left ( i \right )$ , $\left ( ii \right )$ , $\left ( iii \right )$ より
${P_0} \lt {P_1} \lt {P_2} \lt {P_3} \gt {P_4}\gt {P_5} \gt {P_6} \cdots \cdots$

よって $P$ が最大ときの $n$ は $n=3$

② $P_n$ の最大値を求めよ
①より $n=3$ のとき、つまり $P_3$ が最大値
　 ${P_3}={_{10}C_3}\times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^3 \times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{10-3}$
$={_{10}C_3}\times \left ( \dfrac{1}{3} \right )^3 \times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^7$

$=\dfrac{5120}{19683}$

数学ノート

自分用の数学メモ

確率はいつ最大となるか？②