数学ノート

自分用の数学メモ

ジャンケンの考え方③(数回ジャンケンでの勝ち抜き戦）

【例題】
・３人でじゃんけんをして負けたものから順に抜けてゆき
最後に残った１人を優勝者とする。

■勝ち抜き戦の場合はこれから先に起こり打つ全てのパターンについて
前もって確率を求めておく

　 $パターンA：$ ３人→１人　　 $\dfrac{{_3C_1}\times 3}{3^3}=\dfrac{1}{3}$

$パターンB：$ ３人→２人　　 $\dfrac{{_3C_2}\times 3}{3^3}=\dfrac{1}{3}$

$パターンC：$ ３人→３人　　 $1- \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \right )=\dfrac{1}{3}$ ※あいこのとき　

$パターンD：$ ２人→１人　　 $\dfrac{{_2C_1}\times 3}{3^2}=\dfrac{2}{3}$

$パターンC：$ ２人→２人　　 $1- \dfrac{2}{3} =\dfrac{1}{3}$ ※あいこのとき　

　①１回で優勝者が決まる確率
　　 $パターンA$ より $\dfrac{1}{3}$

②２回で優勝者が決まる確率
　　以下の２パターンある
　　(i) ３人→３人→１人 $\cdots \cdots$ 確率は $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$

(ii) ３人→２人→１人 $\cdots \cdots$ 確率は $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$

$\therefore$ ２回で優勝者が決まる確率は　 $\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$

　③３回で優勝者が決まる
　　・３パターンある

　　(i) ３人→３人→３人→１人 $\cdots \cdots$ 確率は $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}$

(ii) ３人→３人→２人→１人 $\cdots \cdots$ 確率は $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{27}$

(iii) ３人→２人→２人→１人 $\cdots \cdots$ 確率は $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{27}$

$\therefore$ ３回で優勝者が決まる確率は　 $\dfrac{1}{27}+\dfrac{2}{27}+\dfrac{2}{27}=\dfrac{5}{27}$