条件付き確率_③ - 数学ノート

【例題】
・ $5$ 人組のアイドルグループ・メンバーは $d,e,f,g,h$ とする
・メンバーが $1$ 人づつ登場する。 $h$ は $3$ 番目に登場する
・ $h$ 以外のメンバーの登場する順番は決まっていない
・ $d$ が $1$ 番目に出る確率を求める。

■事象の整理
　事象 $A \cdots \cdots hが3番目に登場するという事象$

　事象 $B \cdots \cdots dが1番目に登場するという事象$

■ $P \left ( A \right )$ について
分母：全ての登場の仕方は $5$ 人の並び方なので $\cdots \cdots 5!$
分子：以下の図より $\cdots \cdots 4!$

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$\therefore$ $P \left ( A \right ) =\dfrac{4!}{5!}=\dfrac{4\times 3\times 2\times 1}{5\times 4\times 3\times 2\times 1} = \dfrac{1}{5} \cdots \cdots①$

■ $P \left ( A \cap B \right )$ について

　分母：全ての登場の仕方は $5$ 人の並び方なので $\cdots \cdots 5!$
分子：以下の図より $\cdots \cdots 3!$
　　　 f:id:ray88:20220212204850p:plain 　
$\therefore$ $P \left ( A \cap B \right ) =\dfrac{3!}{5!}=\dfrac{3\times 2\times 1}{5\times 4\times 3\times 2\times 1} = \dfrac{1}{20} \cdots \cdots②$

■ $P_A \left ( B \right )$ を求める
　①と②を公式 $P_A \left ( B \right ) = \dfrac{P \left ( A \cap B \right )}{P \left ( A \right )}$ に代入する

　 $P_A \left ( B \right ) = \dfrac{\dfrac{1}{20}}{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{1}{20} \times \dfrac{5}{1}=\dfrac{1}{4}$

【別解】
■ $h$ が $3$ 番目に登場することが決まっているので
　 $h$ が $3$ 番目に登場することを前提とした残り $4$ 人の登場の仕方の場合の数