箱の中から同時にカードを取り出す

【例題】
　箱の中に以下内容で計 $15$ 枚のカードが入っている。
　この箱から $3$ 枚のカードを同時に取り出す
・[１] のカードが $1$ 枚
・[２] のカードが $2$ 枚
・[３] のカードが $3$ 枚
・[４] のカードが $4$ 枚
・[５] のカードが $5$ 枚

①最大のカードが[４]となる
　・分母： $15$ 枚より $3$ 枚取り出すので $\cdots \cdots$ $_{15}C_3$

・分子：※内訳は以下を参照 $\cdots \cdots \cdots _{10}C_3-{_6C_3}$
[１]が $1$ 枚,[２]が $2$ 枚,[３]が $3$ 枚,[４]が $4$ 枚の計 $10$ 枚から $3$ 枚取り出す $\cdots \cdots _{10}C_3$
※この段階で[５]がある心配はナシ

　　 [１]が $1$ 枚,[２]が $2$ 枚,[３]が $3$ 枚の計 $6$ 枚から $3$ 枚取り出す $\cdots \cdots _6C_3$
※肝心の[４]が全く出ないと困るので、この場合を除く

・確率は $\cdots \cdots \dfrac{_{10}C_3}{ _{15}C_3}-\dfrac{_6C_3}{ _{15}C_3}$

・ $_{15}C_3=\dfrac{15 \times 14\times 13}{3\times 2\times 1}=5\times 7\times 13=455$

・ $_{10}C_3 = \dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=10\times 3\times 4 = 120$

・ $_{6}C_3 = \dfrac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=5\times 4 = 20$

上記より

　・ $\dfrac{_{10}C_3}{ _{15}C_3}=\dfrac{120}{455}=\dfrac{24}{91}$ $\dfrac{_{6}C_3}{ _{15}C_3}=\dfrac{20}{455}=\dfrac{4}{91}$

$\therefore$ $\dfrac{24}{91} - \dfrac{4}{91} =\dfrac{20}{91}$

②最大のカードが[３]となる確率

　・分母 $\cdots \cdots _{15}C_3$
・分子 $\cdots \cdots {_6C_3}- {_3C_3}$ ※内訳は以下参照
　　　　 ${_6C_3}\cdots \cdots 3$ 枚とも[１],[２],[３]のカードである確率
　　　　 ${_3C_3}\cdots \cdots 3$ 枚とも[１],[２]のカードである確率

・確率は $\cdots \cdots \dfrac{_6C_3}{_{15}C_3}-\dfrac{_3C_3}{_{15}C_3}$

・ ${_3C_3}=1$ 　　①より $_{15}C_3=455$ $_6C_3=20$

$\therefore$ $\dfrac{20}{455} - \dfrac{1}{455} =\dfrac{19}{455}$

③最小のカードが[３]となる確率

　・分母 $\cdots \cdots _{15}C_3$
・分子 $\cdots \cdots {_{12}C_3}- {_9C_3}$ ※内訳は以下参照
　　　　 ${_{12}C_3}\cdots \cdots 3$ 枚とも[３],[４],[５]のカードである確率
　　　　 ${_9C_3}\cdots \cdots 3$ 枚とも[４],[５]のカードである確率

・確率は $\cdots \cdots \dfrac{_{12}C_3}{_{15}C_3}-\dfrac{_9C_3}{_{15}C_3}$

・①より $_{15}C_3=455$

・ $_{12}C_3 = \dfrac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=2\times 11\times 10 = 220$

・ $_{9}C_3 = \dfrac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=3\times 4\times 7 = 84$

$\therefore$ $\dfrac{220}{455} - \dfrac{84}{455} =\dfrac{136}{455}$

数学ノート

自分用の数学メモ

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