すごろくゲームの考え方②

【例題】
・動く点 $S$ がある
・サイコロを投げて $6$ の約数の目が出ると時計回りに $2$ 動く。
・サイコロを投げて $6$ の約数以外の目が出ると時計回りに $3$ 動く。
・ $S$ は最初 $A$ にいる。

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①サイコロを４回投げた後、 $S$ が $D$ にいる

$６の約数の目の出る回数\cdots \cdots x回$
$６の約数以外の目の出る回数\cdots \cdots y回$
　　合計４回投げるため、 $x+y=4$
・ $S$ 点は $D$ にいる

・ $D$ に至るには時計回りに $K$ 週してさらに３点進むとDに着く

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・ $x$ 回と $y$ 回の回数を求める
　 $2x+3y=6k+3$
　※ $x+y=4$ より $y=4-x$ 　
　　上記式の「 $y$ 」に $4-x$ を代入して

　 $2x+3(4-x)=6k+3$
$2x-3x+12=6k+3$
　 $-x=6k-9$
$\therefore$ $x=9-6k$

$y=4-x$ より $y=4-(9-6k)$
$\therefore$ $y=6k-5$

※ $x$ と $y$ は０以上でなければならない
　 $x \geqq 0$ として $9-6k \geqq 0$
$9 \geqq 6k$
$\dfrac{9}{6} \geqq k$ $\therefore$ $\dfrac{3}{2} \geqq k$

$y \geqq 0$ として $6k-5 \geqq 0$
$6k \geqq 5$ $\therefore$ $k \geqq \dfrac{5}{6}$

上記より　 $\dfrac{5}{6} \leqq k \leqq \dfrac{3}{2}$ つまり約 $0.83$ 以上 $1.5$ 以下
kは整数のため、条件に合致する整数は１となる　 $\therefore$ $k=1$

$x=9-6k$ より $kに1を代入して$
$x=9-6 \times 1 = 3 \cdots \cdots 6の約数の目の出るのは3回$
$y=6k-5$ より $kに1を代入して$
$x=6k-5 \times 1 = 1 \cdots \cdots 6の約数以外の目の出るのは1回$

・６の約数の目(◎とする)が出るのが３回、
６の約数以外の目(×とする）が出るのが１回の場合の
{ ◎ ◎ ◎ × }の並び方の場合の数は $\dfrac{4!}{3!}$ または
　４つのうち一つ × より $\cdots \cdots _4C_1$

確率は　 ${_4C_1} \times \left ( \dfrac{2}{3} \right )^3 \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{32}{81}$
　

数学ノート

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