分散と標準偏差 - 数学ノート

■確率変数 $X$ の確率分布が下の表のようなとき $\cdots \cdots$

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■期待値(平均) $m=E\left(X\right)$ は $\cdots\cdots$
　 $m=E\left(X\right)$
$={x_1}{p_1}+{x_2}{p_2}+{x_3}{p_3}\cdots\cdots +{x_n}{p_n}$

■分散 $V\left(X\right)$ は $\cdots\cdots$
　 $V\left(X\right)=\left({x_1}-m\right)^2{p_1}+\left({x_2}-m\right)^2{p_2}\cdots\cdots+\left({x_n}-m\right)^2{p_n}$

$=\color{red}{E\left(X^2\right)-\left\{E\left(X\right)\right\}^2}$ つまり $\color{red}{\left(X^2の期待値\right)-\left( Xの期待値\right )}$ $\color{red}{^2}$

■標準偏差 $\sigma(X)は\cdots\cdots$

　 $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

$=\color{red}{\sqrt{E(X)^2-\left\{ E(X)^2\right\}}}$ つまり $\color{red}{\sqrt{(X^2の期待値)-(Xの期待値)^2}}$

【例題】
・６本のクジがある
・当たりクジ $2$ 本：はずれクジ $4$ 本
・無作為に $1$ 本づつクジを引く。引いたくじは元に戻さない事とする。
・初めて当たりクジが出るまでに引いた回数を $X$ とする

【問題１】 $X$ の期待値 $E(X)$ を求める
【問題２】 $X$ の分散 $V(X)$ を求める
【問題３】 $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める

■ $X$ の取りうる値は $X=1,2,3,4,5$ である
　ここで $X=k$ であるときの確率を $P(X=k)$ を表す事にする。
・ $P(X=1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
　 ※１回目：６本中２本当たりクジ

・ $P(X=2)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{15}$
　 ※１回目：６本中４本ハズレ
　　２回目：５本中２本当たり

・ $P(X=3)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{5}$
　 ※１回目：６本中４本ハズレ
　　２回目：５本中３本ハズレ
　　３回目：４本中２本当たり

・ $P(X=4)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{15}$
　 ※１回目：６本中４本ハズレ
　　２回目：５本中３本ハズレ
　　３回目：４本中２本ハズレ
　　４回目：３本中２本当たり　

・ $P(X=5)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{2}=\dfrac{1}{15}$
　 ※１回目：６本中４本ハズレ
　　２回目：５本中３本ハズレ
　　３回目：４本中２本ハズレ
　　４回目：３本中１本ハズレ
　　５回目：２本中２本とも当たり　
■確率分布表にまとめる