期待値と分散② - 数学ノート

◆公式◆

$\color{red}{E(x+y)=E(x)+E(y)}$
$\color{red}{E(ax+by)=aE(x)+bE(y)}$
さらに $xとy$ が独立のとき
$\color{red}{V(x+y)=V(x)+V(y)}$
$\color{red}{V(ax+by)=a^2V(x)+b^2V(y)}$
$\color{red}{E(xy)=E(x)・E(y)}$

【例題】
　・袋 $A$ の中に以下内訳で合計 $7$ 個の球が入っている。
　　赤球 $\cdots\cdots4$ 個
　　白球 $\cdots\cdots3$ 個
・袋 $B$ の中に以下内訳で合計 $5$ 個の球が入っている。
赤球 $\cdots\cdots2$ 個
　　白球 $\cdots\cdots5$ 個
・袋 $A$ から同時に $3$ 個の球を取り出し、この $3$ 個に含まれる赤球の個数を $x$ とする
　・袋 $B$ から同時に $2$ 個の球を取り出し、この $2$ 個に含まれる赤球の個数を $y$ とする
・このときの次の期待値・分散を求める

　【１】 $E(x+y)$

【２】 $V(x+y)$

【３】 $E(2x+3y)$

【４】 $V(7x+5y)$

【５】 $E(xy)$

【解法】
・ $x$ の取りうる値は $0,1,2,3$

・ $y$ の取りうる値は $0.1.2$

・ $x=k$ の時の確率を $P(x=k)$ $y=l$ の時の確率を $P(y=l)$ とする

$P(x=0)=\dfrac{_3C_3}{_7C_3}=\dfrac{1}{35}$

$P(x=1)=\dfrac{_4C_1\times{_3C_2}}{_7C_3}=\dfrac{12}{35}$

$P(x=2)=\dfrac{_4C_2\times{_3C_1}}{_7C_3}=\dfrac{18}{35}$

$P(x=3)=\dfrac{_4C_3}{_7C_3}=\dfrac{4}{35}$

確率分布表にまとめる

f:id:ray88:20220308174207p:plain
よって $x$ の期待値 $E(x)$ は
$E(x)=0\times\dfrac{1}{35}+1\times\dfrac{12}{35}+2\times\dfrac{18}{35}+3\times\dfrac{4}{35}$

$=\dfrac{60}{35}$

$=\dfrac{12}{7}\cdots\cdots①$

$x^2$ の期待値 $E(x^2)$ は

$E(x^2)=0^2\times\dfrac{1}{35}+1^2\times\dfrac{12}{35}+2^2\times\dfrac{18}{35}+3^2\times\dfrac{4}{35}$

$=\dfrac{120}{35}$

$=\dfrac{24}{35}\cdots\cdots②$

①②より、 $x$ の分散 $V(x)$ は
$V(x)=E(x^2)-\left\{E(x)\right\}^2$

$=\dfrac{24}{7}-\left(\dfrac{12}{7}\right)^2$

$=\dfrac{24}{7}-\dfrac{144}{49}$

$=\dfrac{24}{49}\cdots\cdots③$

一方

　 $P(y=0)=\dfrac{_3C_2}{_5C_2}=\dfrac{3}{10}$

$P(y=1)=\dfrac{_2C_1\times{_3C_1}}{_5C_2}=\dfrac{6}{10}$

$P(y=2)=\dfrac{_2C_2}{_5C_2}=\dfrac{1}{10}$

確率分布表にまとめる

f:id:ray88:20220308182809p:plain

よって $y$ の期待値 $E(y)$ は

$E(y)=0\times\dfrac{3}{10}+1\times\dfrac{6}{10}+2\times\dfrac{1}{10}$

$=\dfrac{8}{10}$

$=\dfrac{4}{5}\cdots\cdots④$

$y^2$ の期待値 $E(y^2)$ は

$E(y^2)=0^2\times\dfrac{3}{10}+1^2\times\dfrac{6}{10}+2^2\times\dfrac{1}{10}$

$=\dfrac{10}{10}$

$=1\cdots\cdots⑤$

④⑤より、 $y$ の分散 $V(y)$ は

$V(y)=E(y^2)-\left\{E(y)\right\}^2$

$=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2$

$=1-\dfrac{16}{25}$

$=\dfrac{9}{25}\cdots\cdots⑥$

【１】 $E(x+y)=E(x)+E(y)$
①と④より
$E(x+y)=\dfrac{12}{7}+\dfrac{4}{5}$

　 $=\dfrac{88}{35}\cdots\cdots(答)$

【２】 $V(x+y)$
　　　確率変数 $x$ と $y$ は独立のため
　　　 $V(x+y)=V(x)+V(y)$
③と⑥より
　　　 $V(x+y)=\dfrac{24}{49}+\dfrac{9}{25}$

$=\dfrac{600+441}{1225}$

$=\dfrac{1041}{1225}\cdots\cdots(答)$

【３】 $E(2x+3y)=2E(x)+3E(y)$

①④より
　　　 $E(2x+3y)=2\times\dfrac{12}{7}+3\times\dfrac{4}{5}$

$=\dfrac{24}{7}+\dfrac{12}{5}$

$=\dfrac{120+84}{35}$

$=\dfrac{204}{35}\cdots\cdots(答)$

【４】 $V(7x+5y)$

　　　確率変数 $x$ と $y$ は独立なので
　　　 $V(7x+5y)=7^2V(x)+5^2V(y)$
⑤と⑥より
　　　 $V(7x+5y)=49\times\dfrac{24}{49}+25\times\dfrac{9}{25}$

$=24+9$

$=33$

【５】 $E(xy)$

確率変数 $x$ と $y$ は独立なので

$E(xy)=E(x)・E(y)$
①と④より
　　　 $E(xy)=\dfrac{12}{7}\times\dfrac{4}{5}$

$=\dfrac{48}{35}\cdots\cdots(答)$