数学ノート

自分用の数学メモ

期待値と分散②

◆公式◆

$E(x+y)=E(x)+E(y)$
$E(ax+by)=aE(x)+bE(y)$
さらに $xとy$ が独立のとき
$V(x+y)=V(x)+V(y)$
$V(ax+by)=a^2V(x)+b^2V(y)$
$(xy)=E(x)・E(y)$

【例題】
・袋 $A$ の中に合計 $7$ 個の球が入っている。内訳は以下
　赤球 $\cdots\cdots4$ 個
　　白球 $\cdots\cdots3$ 個

・袋 $B$ の中に合計 $5$ 個の球が入っている。内訳は以下
　赤球 $\cdots\cdots2$ 個
　　白球 $\cdots\cdots3$ 個

・袋 $A$ から同時に $3$ 個の球を取り出し $3$ 個に含まれる赤球の個数を $x$ とする

・袋 $B$ から同時に $2$ 個の球を取り出し $2$ 個に含まれる赤球の個数を $y$ とする

・以上のとき、以下の期待値と分散を求める。

　【１】 $E(x+y)$

【２】 $V(x+y)$

【３】 $E(2x+3y)$

【４】 $V(7x+5y)$

【５】 $E(xy)$

【解法】

・ $x$ のとりうる値の範囲は $x=0,1,2,3$

・ $y$ のとりうる値の範囲は $y=0,1,2$

・ $x=k$ のときの確率を $P(x=k)$ とする

・ $y=l$ のときの確率を $P(y=l)$ とする