多項定理 - 数学ノート

◆多項定理◆

$\left(a+b+c \right)^n$ の $a^P$ $b^Q$ $c^R$ の係数は

$\dfrac{n!}{P!Q!R!}$ となる ※但し $P+Q+R=n$

・一般化すると
$\left(a+b+c+d+\cdots \cdots \right)^n$ の $a^P$ $b^Q$ $c^R$ $d^S$ $\cdots \cdots$ の係数は

$\dfrac{n!}{P!Q!R!S! \cdots \cdots}$ となる ※但し $P+Q+R+S+\cdots \cdots=n$

※ $\left(a+b \right)^n$ の $a^P$ $b^Q$ の係数は

$\dfrac{n!}{P!Q!}$ となる ※但し $P+Q=n$

$=\dfrac{n!}{P!\left ( n-P \right)!}$ $_{P+Q=n}$ $_{より}$ $_{Q＝n-P}$
・２項定理の公式と一致する。２項定理の公式
　２項定理も他行定理の一部にすぎない

【例１】 $\left(a+b+c \right)^7$ を展開したときの $a^2$ $b^3$ $c^3$ の係数を求める
　　　　 $\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)$ より $aを2個,bを3個,cを3個とる$ → $aabbbccc$ の並び方