数学ノート

自分用の数学メモ

２項定理_④

【例題】
・ $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )^5$ を展開したときの $x^4$ の係数を求める

■ $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )^5=\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )$

・５個の $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )$ から $r$ 個の $3x^2$ を取る $\cdots \cdots _5C_r$

・５個の $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )$ から $5-r$ 個の $\dfrac{2}{x}$ を取る $\cdots \cdots _5C_{5-r}$

■ $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )^5$ の一般項は

$_5C_r \times \left ( 3x^2 \right )^r \times \left ( \dfrac{2}{x} \right )^{5-r}$

$={_5C_r} \times 3r \times \left ( x^2 \right )^r \times \dfrac{2^{5-r}}{x^{5-r}}$

※ $2^{5-r} と x^{2r} を並べ替えた$

$={_5C_r} \times 3r \times 2^{5-r} \times \dfrac{x^{2r}}{x^{5-r}}$

※ $\dfrac{x^{2r}}{x^{5-r}} = x^{2r} ÷ \left ( x^{5-r} \right )=x^{2r- \left ( 5-r \right)}=x^{3r-5}$

$={_5C_r} \times 3r \times 2^{5-r} \times x^{3r-5}$

つまり $x^{3r-5}$ の係数は ${_5C_r} \times 3^r \times 2^{5-r}$

■ $x^4$ の項をかんがえるとき $x^{3r-5}$ より

　 $3r-5 = 4$ $\therefore$ $r=3$

■よって $x^{4}$ の係数は ${_5C_r} \times 3^r \times 2^{5-r}$ より

　　 $_5C_3 \times 3^3 \times 2^{5-3} = 1080$ 　　　　　　　