２項定理_⑤ - 数学ノート

【例題】
・ $\left ( 2x-\dfrac{3}{x^2} \right )^6$ を展開したときの $x^3$ の係数を求める

・必ず $\left ( ● \color{red}{+} ▲ \right )$ のようにプラスの形式にする
$\left ( 2x-\dfrac{3}{x^2} \right )^6 =\left\{ 2x\color{red}{+}\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}^6$

・ $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}^6$ = $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\} \cdots \left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}$

・６個の $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}$ から $r$ 個の $2x$ を取る $\cdots \cdots {_6C_r}$

・６個の $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}$ から $6-r$ 個の $\left ( \dfrac{3}{x^2} \right )$ を取る $\cdots \cdots {_6C_{6-r}}$

・ $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right)^6 \right\}$ を展開したときの一般項は ${_6C_r}\times \left(2x \right)^r \times \left( - \dfrac{3}{x^2} \right )^{6-r}$
$={_6C_r}\times 2^r \times x^r \times \dfrac{\left(-3^2 \right)^{6-r}}{\left(-x^2 \right)^{6-r}}$

$={_6C_r}\times 2^r \times \left ( -3 \right )^{6-r} \times \dfrac{x^r}{x^{2\left(6-r\right)}}$ $_{ \left ( -3 \right )^{6-r}}$ $_と$ $_{x^r}$ $_{を並べ替える}$

$={_6C_r} \times 2^r \times \left( -3 \right )^{6-r} \times x^{3r-12}$ $_{途中計算式 : }$ $_{x^r ÷ x{^2\left ( 6-r \right )}}$ $_{=}$ $_{x^{r-2\left ( 6-r \right )}}$ $_{=}$ $_{x^{3r-12}}$