２項定理_② - 数学ノート

◆公式◆

$\left ( a + b \right )^n$ の $a^r$ $b^{n-r}$ の係数は
${_nC_r}$ または $\dfrac{n!}{r! \left( n-r \right )}$
※但し指数の合計が $r+n-r =n$ となることに注意する

【例題】
・ $\left ( a+b \right )^5$ を展開したときの $a^2$ $b^3$ の係数を求める

■ $\left ( a+b \right )^5=\left ( a+b \right ) +\left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right )$

・ $a^2 \cdots \cdots 5$ 個の $\left ( a+b \right )$ より $2$ つの $a$ を取り出す $\cdots {_5C_2}$ または $\dfrac{5!}{2!}$

・ $b^2 \cdots \cdots 5$ 個の $\left ( a+b \right )$ より $3$ つの $b$ を取り出す $\cdots {_5C_3}$ または $\dfrac{5!}{3!}$

■以上より $a^2$ $b^3$ つまり｛ $aabbb$ ｝の並び方は

${_5C_2}$ 　または　 ${_5C_3}$ 　または $\dfrac{5!}{2!3!}$

■｛ $aabbb$ ｝の並び方より $a^2$ $b^3$ の係数は
　 ${_5C_2}=10$

【例題】
・ $\left ( a+b \right )^{10}$ を展開したときの $a^3$ $b^7$ の係数を求める

■ $\left ( a+b \right )^{10}=\left ( a+b \right ) +\left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) \cdots \cdots \left ( a+b \right )$

・ $a^3 \cdots \cdots 10$ 個の $\left ( a+b \right )$ より $3$ つの $a$ を取り出す $\cdots {_{10}C_3}$ または $\dfrac{10!}{3!}$

・ $b^7 \cdots \cdots 10$ 個の $\left ( a+b \right )$ より $7$ つの $b$ を取り出す $\cdots {_{10}C_7}$ または $\dfrac{10!}{7!}$

■以上より $a^3$ $b^7$ つまり｛ $aaabbbbbbb$ ｝の並び方は

${_{10}C_3}$ 　または　 ${_{10}C_7}$ 　または $\dfrac{10!}{3!7!}$

■｛ $aaabbbbbbb$ ｝の並び方より $a^3$ $b^7$ の係数は
　 ${_{10}C_7}=120$