２項定理_① - 数学ノート

$\left (a + b \right )^3=\left (a + b \right ) \left (a + b \right ) \left (a + b \right )$
上記を展開する場合の掛け算のパターン

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①より $a^3 \cdots \cdots {_3C_0}a^3$

$a^3$ は３個の $\left ( a + b \right )$ の中から $0$ 個の $b$ を選ぶので $a^3 \times {_3C_0}$ $b^0$

$b^0=1$ なので　 $a^3 \times {_3C_0}$ $b^0$ $=a^3 \times{_3C_0}\times 1 = {_3C_0}a^3$

②③⑤より $a^2b \cdots \cdots {_3C_1}a^2b$

$a^2$ は３個の $\left ( a + b \right )$ の中から $1$ 個の $b$ を選ぶので $a^2 \times {_3C_1}$ $b^1$
$a^2 \times {_3C_1}$ $b^1$ $=a^2 \times{_3C_1}\times b = {_3C_1}a^2b$

④⑥⑦より $ab^2 \cdots \cdots {_3C_2}ab^2$

$a^1$ は３個の $\left ( a + b \right )$ の中から $2$ 個の $b$ を選ぶので $a^1 \times {_3C_2}$ $b^2$
$a^1 \times {_3C_2}$ $b^2$ $=a^1 \times{_3C_2}\times b^2 = {_3C_2}ab^2$

⑧より $b^3 \cdots \cdots {_3C_3}b^3$

$b^3$ は３個の $\left ( a + b \right )$ の中から $3$ 個の $b$ を選ぶので $a^0 \times {_3C_3}$ $b^3$

$a^0=1$ なので　 $a^0 \times {_3C_3}$ $b^3$ $=1 \times{_3C_3}\times b^3 = {_3C_3}b^3$

以上より

$\left ( a+b \right )^3 ={_3C_0}a^3 + {_3C_1}a^2b + {_3C_2}ab^2+{_3C_3}b^3$

$=1\times a^3 \times 3 \left ( a^2 b \right) + 3 \left ( ab^2 \right) + 1\times b^3$

$=a^3 \times 3a^2b \times 3ab^2 \times b^3$

◆公式◆

$\left ( a+b \right )^n = {_nC_0}$ $a^n + {_nC_1}$ $a^{n-1}$ $b$
$+{_nC_2}$ $a^{n-2}$ $b^2 \cdots \cdots$
$+{_nC_r}$ $a^{n-r}$ $b^r \cdots \cdots$
$+{_nC_{n-1}}$ $a$ $b^{n-1}$
$+{_nC_n}$ $b^n$