数学ノート

自分用の数学メモ

２項定理_③

【例題】
・ $\left ( 2x + 3y \right )^7$ を展開したときの $x^3$ $y^4$ の係数を求める

■ $\left ( 2x + 3y \right )^7=\left ( 2x + 3y \right )+\left ( 2x + 3y \right )+\left ( 2x + 3y \right )\cdots \cdots \left ( 2x + 3y \right )$

・ $7$ 個の $\left ( 2x + 3y \right )$ から $3$ 個の $2x$ を取る $\cdots \cdots _7C_3$

・ $7$ 個の $\left ( 2x + 3y \right )$ から $4$ 個の $3y$ を取る $\cdots \cdots _7C_4$

■ ｛ $2x,2x,2x,3y,3y,3y,3y$ ｝の並び方は $_7C_3$ または $_7C_4$

■上記より $x^3$ $y^4$ の係数は

　 $_7C_3 \times \left ( 2x \right )^3 \times \left ( 3y \right )^4$

$=\dfrac{7 \times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\times 8x^3 \times 81y^4$

$=35 \times 8x^3 \times 81y^4$

$=22680$ $x^3$ $y^4$

$\therefore$ よって $x^3$ $y^4$ の係数は $22680$

【例題】
・ $\left ( 5x -2y \right )^5$ を展開したときの $x^2$ $y^3$ の係数を求める

■ $\left ( 5x - 2y \right )^5=\left (5x - 2y \right )+\left ( 5x - 2y \right )+\left ( 5x - 2y \right )\cdots \cdots \left ( 5x - 2y \right )$

・ $5$ 個の $\left ( 5x - 2y \right )$ から $2$ 個の $5x$ を取る $\cdots \cdots _5C_2$

・ $5$ 個の $\left ( 5x - 2y \right )$ から $3$ 個の $2y$ を取る $\cdots \cdots _5C_3$

■ ｛ $5x,5x,2y,2y,2y$ ｝の並び方は $_5C_2$ または $_5C_3$

■ポイント：必ず $\left ( ●x \color{red}{+} ▲y \right )$ の形式になるようにする(プラスの形になるようにする)

　　　　　→ $\left ( 5x - 2y \right )^5 = \{ 5x \color{red}{+} \left ( -2y \right ) \}^5$

$_5C_2 \times \left ( 5x \right )^2 \times \left ( -2y \right )^3$

$=\dfrac{5 \times 4}{2\times 1} \times 25x^2 \times \left ( -8y^3 \right )$

$=-2000$ $x^2$ $y^3$

$\therefore$ $x^2$ $y^3$ の係数は $-2000$