数学ノート

自分用の数学メモ

期待値と分散

◆期待値について◆

$E(ax+b)=aE(x)+b$
$E(x+y)=E(x)+E(y)$

これらを一般化すると
$\color{red}{E(ax+by)=aE(x)+bE(y)}$

さらに $xとyが$ 独立であるならば

$E(xy)=E(x)・E(y)$

◆分散について◆

$V(ax+b)={a^2}V(x)$
さらに $xとyが$ 独立であるならば
$V(x+y)=V(x)+V(y)$

これらを一般化すると

$\color{red}{V(ax+by)={a^2}V(x)+{b^2}V(y)}$

↑ $xとyが$ 独立のときだけ

【例題】
・箱の中に以下内容で計 $15$ 枚のカードが入っている。

・ $1$ のカードが $1$ 枚

・ $2$ のカードが $2$ 枚

・ $3$ のカードが $3$ 枚

・ $4$ のカードが $4$ 枚

・ $5$ のカードが $5$ 枚

この箱から１枚のカードを取り出す時、カードの数を $x$ とする。
このとき $5x+2$ の期待値と分散を求めよ

【解法】

・ $x$ のとりうる値は $x=1,2,3,4,5,$ (カードは $1$ ~ $5$ なので)

・ $x=k$ のときに確率を $P(x=k)$ と表すこととする。

　 $P(x=1)=\dfrac{1}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $1$ 枚

　 $P(x=2)=\dfrac{2}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $2$ 枚

　 $P(x=3)=\dfrac{3}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $3$ 枚

　 $P(x=4)=\dfrac{4}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $4$ 枚

　 $P(x=5)=\dfrac{5}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $5$ 枚

・以上を確率分布にまとめると
f:id:ray88:20220227132516p:plain
・ $x$ の期待値を $E(x)$ として
　 $E(x)=1\times\dfrac{1}{15}+2\times\dfrac{2}{15}+3\times\dfrac{3}{15}+4\times\dfrac{4}{15}+5\times\dfrac{5}{15}$

$=\dfrac{1+4+9+16+25}{15}$

$=\dfrac{55}{15}$

$=\dfrac{11}{3}\cdots\cdots ①$

・ $x^2$ の期待値を $E(x^2)$ として

f:id:ray88:20220227155138p:plain

$E(x^2)=1^2\times\dfrac{1}{15}+2^2\times\dfrac{2}{15}+3^2\times\dfrac{3}{15}+4^2\times\dfrac{4}{15}+5^2\times\dfrac{5}{15}$

$=\dfrac{1+8+27+64+125}{15}$

$=\dfrac{225}{15}$

$=15\cdots\cdots ②$

・①②より、 $x$ の分散 $V(x)$ は、

$V(x)=E(x^2)-\left\{E(x)\right\}^2$

$=15-\left(\dfrac{11}{3}\right)^2$

$=15-\dfrac{121}{9}$

$=\dfrac{14}{9}\cdots\cdots ③$

・以上より①の値を $\color{red}{E(ax+b)=aE(x)+b}$ の公式に代入して
　 $5x+2$ の期待値 $E(5x+2)$ を求める

①の $E(x)=\dfrac{11}{3}$ より

　 $E(5x+2)=5\times\dfrac{11}{3}+2$

　 $=\dfrac{61}{3}\cdots\cdots$ 期待値

・③の値を $\color{red}{V(ax+b)={a^2}V(x)}$ の公式に代入して
　 $5x+2$ の期待値 $V(5x+2)$ を求めるを求める

　③の $V(x)=\dfrac{14}{9}$ より

　 $V(5x+2)=5^2V(x)$

$V(5x+2)=5^2V(x)=25\times\dfrac{14}{9}$

$=\dfrac{350}{9}\cdots\cdots$ 分散

　

$\dfrac{1}{15}$ $\dfrac{2}{15}$ $\dfrac{3}{15}$ $\dfrac{4}{15}$ $\dfrac{5}{15}$ $\dfrac{6}{15}$