2022-08-28

z値・標準化 (偏差値など）

■標準化とは

　統計学における標準化(Standardization)とは、複数あるデータの平均をゼロ、

　分散が1になるように変換すること。

$z_{i}=\dfrac{観測値 - 平均値}{標準偏差} = \dfrac{x_{i}-\overline{x}}{s}$

■偏差値の求め方

$z_{i}=\dfrac{得点 - 得点の平均値}{得点の標準偏差} \times 10 + 50 = 10zi + 50$

※上記の式より偏差値は平均値５０、標準偏差１０の値を取る

2022-05-13

微分でグラフを書く

■編集中

2022-03-20

代表値

【例題】以下１１個のデータの代表値を求める
　 $8,12,6,19,2,11,5,16,7,15,9$

■平均値： $8+12+6+19+11+5+16+7+15+9)÷11=110÷11=10$
　※平均値： $\color{blue}{\bar{x}=\dfrac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots + x_{3} )}$

■最小値・中央値・最大値
　※11個の数を小さい方から並べる

f:id:ray88:20220320100751p:plain
※中央値
　　データの総数が奇数の場合： $\color{blue}{\dfrac{n+1}{2}}$ 番目のデータ
　　データの総数が偶数の場合： $\color{blue}{\dfrac{n}{2}}$ 番目のデータと $\color{blue}{\dfrac{n}{2}+1}$ のデータの平均値

■四分位数と四分位範囲

f:id:ray88:20220320101818p:plain

第1四分位数 $\cdots\cdots$ データの前半部分の中央値(25%)
第2四分位数 $\cdots\cdots$ データの全体の中央値(50%)
第3四分位数 $\cdots\cdots$ データの後半部分の中央値(75%)
四分位範囲 $\cdots\cdots$ 第1四分位数~第3四分位数の範囲(データ全体の50%が入る)

f:id:ray88:20220321143613p:plain

※箱ひげ図作成参考URL　

【教師の統計学】EXCELで箱ひげ図を作成しよう | 高校教師とICTのブログ[数学×情報×ICT]

Excelで箱ひげ図を作成するには（Excel 2013で作る） | SUZUSHI.NET

エクセル2013箱ひげ図の作り方 | ビズルート

2022-03-07

期待値と分散②

◆公式◆

$\color{red}{E(x+y)=E(x)+E(y)}$
$\color{red}{E(ax+by)=aE(x)+bE(y)}$
さらに $xとy$ が独立のとき
$\color{red}{V(x+y)=V(x)+V(y)}$
$\color{red}{V(ax+by)=a^2V(x)+b^2V(y)}$
$\color{red}{E(xy)=E(x)・E(y)}$

【例題】
　・袋 $A$ の中に以下内訳で合計 $7$ 個の球が入っている。
　　赤球 $\cdots\cdots4$ 個
　　白球 $\cdots\cdots3$ 個
・袋 $B$ の中に以下内訳で合計 $5$ 個の球が入っている。
赤球 $\cdots\cdots2$ 個
　　白球 $\cdots\cdots5$ 個
・袋 $A$ から同時に $3$ 個の球を取り出し、この $3$ 個に含まれる赤球の個数を $x$ とする
　・袋 $B$ から同時に $2$ 個の球を取り出し、この $2$ 個に含まれる赤球の個数を $y$ とする
・このときの次の期待値・分散を求める

　【１】 $E(x+y)$

【２】 $V(x+y)$

【３】 $E(2x+3y)$

【４】 $V(7x+5y)$

【５】 $E(xy)$

【解法】
・ $x$ の取りうる値は $0,1,2,3$

・ $y$ の取りうる値は $0.1.2$

・ $x=k$ の時の確率を $P(x=k)$ $y=l$ の時の確率を $P(y=l)$ とする

$P(x=0)=\dfrac{_3C_3}{_7C_3}=\dfrac{1}{35}$

$P(x=1)=\dfrac{_4C_1\times{_3C_2}}{_7C_3}=\dfrac{12}{35}$

$P(x=2)=\dfrac{_4C_2\times{_3C_1}}{_7C_3}=\dfrac{18}{35}$

$P(x=3)=\dfrac{_4C_3}{_7C_3}=\dfrac{4}{35}$

確率分布表にまとめる

f:id:ray88:20220308174207p:plain
よって $x$ の期待値 $E(x)$ は
$E(x)=0\times\dfrac{1}{35}+1\times\dfrac{12}{35}+2\times\dfrac{18}{35}+3\times\dfrac{4}{35}$

$=\dfrac{60}{35}$

$=\dfrac{12}{7}\cdots\cdots①$

$x^2$ の期待値 $E(x^2)$ は

$E(x^2)=0^2\times\dfrac{1}{35}+1^2\times\dfrac{12}{35}+2^2\times\dfrac{18}{35}+3^2\times\dfrac{4}{35}$

$=\dfrac{120}{35}$

$=\dfrac{24}{35}\cdots\cdots②$

①②より、 $x$ の分散 $V(x)$ は
$V(x)=E(x^2)-\left\{E(x)\right\}^2$

$=\dfrac{24}{7}-\left(\dfrac{12}{7}\right)^2$

$=\dfrac{24}{7}-\dfrac{144}{49}$

$=\dfrac{24}{49}\cdots\cdots③$

一方

　 $P(y=0)=\dfrac{_3C_2}{_5C_2}=\dfrac{3}{10}$

$P(y=1)=\dfrac{_2C_1\times{_3C_1}}{_5C_2}=\dfrac{6}{10}$

$P(y=2)=\dfrac{_2C_2}{_5C_2}=\dfrac{1}{10}$

確率分布表にまとめる

f:id:ray88:20220308182809p:plain

よって $y$ の期待値 $E(y)$ は

$E(y)=0\times\dfrac{3}{10}+1\times\dfrac{6}{10}+2\times\dfrac{1}{10}$

$=\dfrac{8}{10}$

$=\dfrac{4}{5}\cdots\cdots④$

$y^2$ の期待値 $E(y^2)$ は

$E(y^2)=0^2\times\dfrac{3}{10}+1^2\times\dfrac{6}{10}+2^2\times\dfrac{1}{10}$

$=\dfrac{10}{10}$

$=1\cdots\cdots⑤$

④⑤より、 $y$ の分散 $V(y)$ は

$V(y)=E(y^2)-\left\{E(y)\right\}^2$

$=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2$

$=1-\dfrac{16}{25}$

$=\dfrac{9}{25}\cdots\cdots⑥$

【１】 $E(x+y)=E(x)+E(y)$
①と④より
$E(x+y)=\dfrac{12}{7}+\dfrac{4}{5}$

　 $=\dfrac{88}{35}\cdots\cdots(答)$

【２】 $V(x+y)$
　　　確率変数 $x$ と $y$ は独立のため
　　　 $V(x+y)=V(x)+V(y)$
③と⑥より
　　　 $V(x+y)=\dfrac{24}{49}+\dfrac{9}{25}$

$=\dfrac{600+441}{1225}$

$=\dfrac{1041}{1225}\cdots\cdots(答)$

【３】 $E(2x+3y)=2E(x)+3E(y)$

①④より
　　　 $E(2x+3y)=2\times\dfrac{12}{7}+3\times\dfrac{4}{5}$

$=\dfrac{24}{7}+\dfrac{12}{5}$

$=\dfrac{120+84}{35}$

$=\dfrac{204}{35}\cdots\cdots(答)$

【４】 $V(7x+5y)$

　　　確率変数 $x$ と $y$ は独立なので
　　　 $V(7x+5y)=7^2V(x)+5^2V(y)$
⑤と⑥より
　　　 $V(7x+5y)=49\times\dfrac{24}{49}+25\times\dfrac{9}{25}$

$=24+9$

$=33$

【５】 $E(xy)$

確率変数 $x$ と $y$ は独立なので

$E(xy)=E(x)・E(y)$
①と④より
　　　 $E(xy)=\dfrac{12}{7}\times\dfrac{4}{5}$

$=\dfrac{48}{35}\cdots\cdots(答)$

2022-02-28

期待値と分散②

◆公式◆

$E(x+y)=E(x)+E(y)$
$E(ax+by)=aE(x)+bE(y)$
さらに $xとy$ が独立のとき
$V(x+y)=V(x)+V(y)$
$V(ax+by)=a^2V(x)+b^2V(y)$
$(xy)=E(x)・E(y)$

【例題】
・袋 $A$ の中に合計 $7$ 個の球が入っている。内訳は以下
　赤球 $\cdots\cdots4$ 個
　　白球 $\cdots\cdots3$ 個

・袋 $B$ の中に合計 $5$ 個の球が入っている。内訳は以下
　赤球 $\cdots\cdots2$ 個
　　白球 $\cdots\cdots3$ 個

・袋 $A$ から同時に $3$ 個の球を取り出し $3$ 個に含まれる赤球の個数を $x$ とする

・袋 $B$ から同時に $2$ 個の球を取り出し $2$ 個に含まれる赤球の個数を $y$ とする

・以上のとき、以下の期待値と分散を求める。

　【１】 $E(x+y)$

【２】 $V(x+y)$

【３】 $E(2x+3y)$

【４】 $V(7x+5y)$

【５】 $E(xy)$

【解法】

・ $x$ のとりうる値の範囲は $x=0,1,2,3$

・ $y$ のとりうる値の範囲は $y=0,1,2$

・ $x=k$ のときの確率を $P(x=k)$ とする

・ $y=l$ のときの確率を $P(y=l)$ とする

2022-02-26

期待値と分散

◆期待値について◆

$E(ax+b)=aE(x)+b$
$E(x+y)=E(x)+E(y)$

これらを一般化すると
$\color{red}{E(ax+by)=aE(x)+bE(y)}$

さらに $xとyが$ 独立であるならば

$E(xy)=E(x)・E(y)$

◆分散について◆

$V(ax+b)={a^2}V(x)$
さらに $xとyが$ 独立であるならば
$V(x+y)=V(x)+V(y)$

これらを一般化すると

$\color{red}{V(ax+by)={a^2}V(x)+{b^2}V(y)}$

↑ $xとyが$ 独立のときだけ

【例題】
・箱の中に以下内容で計 $15$ 枚のカードが入っている。

・ $1$ のカードが $1$ 枚

・ $2$ のカードが $2$ 枚

・ $3$ のカードが $3$ 枚

・ $4$ のカードが $4$ 枚

・ $5$ のカードが $5$ 枚

この箱から１枚のカードを取り出す時、カードの数を $x$ とする。
このとき $5x+2$ の期待値と分散を求めよ

【解法】

・ $x$ のとりうる値は $x=1,2,3,4,5,$ (カードは $1$ ~ $5$ なので)

・ $x=k$ のときに確率を $P(x=k)$ と表すこととする。

　 $P(x=1)=\dfrac{1}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $1$ 枚

　 $P(x=2)=\dfrac{2}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $2$ 枚

　 $P(x=3)=\dfrac{3}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $3$ 枚

　 $P(x=4)=\dfrac{4}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $4$ 枚

　 $P(x=5)=\dfrac{5}{15}\cdots\cdots15$ 枚中 $5$ 枚

・以上を確率分布にまとめると
f:id:ray88:20220227132516p:plain
・ $x$ の期待値を $E(x)$ として
　 $E(x)=1\times\dfrac{1}{15}+2\times\dfrac{2}{15}+3\times\dfrac{3}{15}+4\times\dfrac{4}{15}+5\times\dfrac{5}{15}$

$=\dfrac{1+4+9+16+25}{15}$

$=\dfrac{55}{15}$

$=\dfrac{11}{3}\cdots\cdots ①$

・ $x^2$ の期待値を $E(x^2)$ として

f:id:ray88:20220227155138p:plain

$E(x^2)=1^2\times\dfrac{1}{15}+2^2\times\dfrac{2}{15}+3^2\times\dfrac{3}{15}+4^2\times\dfrac{4}{15}+5^2\times\dfrac{5}{15}$

$=\dfrac{1+8+27+64+125}{15}$

$=\dfrac{225}{15}$

$=15\cdots\cdots ②$

・①②より、 $x$ の分散 $V(x)$ は、

$V(x)=E(x^2)-\left\{E(x)\right\}^2$

$=15-\left(\dfrac{11}{3}\right)^2$

$=15-\dfrac{121}{9}$

$=\dfrac{14}{9}\cdots\cdots ③$

・以上より①の値を $\color{red}{E(ax+b)=aE(x)+b}$ の公式に代入して
　 $5x+2$ の期待値 $E(5x+2)$ を求める

①の $E(x)=\dfrac{11}{3}$ より

　 $E(5x+2)=5\times\dfrac{11}{3}+2$

　 $=\dfrac{61}{3}\cdots\cdots$ 期待値

・③の値を $\color{red}{V(ax+b)={a^2}V(x)}$ の公式に代入して
　 $5x+2$ の期待値 $V(5x+2)$ を求めるを求める

　③の $V(x)=\dfrac{14}{9}$ より

　 $V(5x+2)=5^2V(x)$

$V(5x+2)=5^2V(x)=25\times\dfrac{14}{9}$

$=\dfrac{350}{9}\cdots\cdots$ 分散

$\dfrac{1}{15}$ $\dfrac{2}{15}$ $\dfrac{3}{15}$ $\dfrac{4}{15}$ $\dfrac{5}{15}$ $\dfrac{6}{15}$

2022-02-23

分散と標準偏差

■確率変数 $X$ の確率分布が下の表のようなとき $\cdots \cdots$

f:id:ray88:20220223153651p:plain
■期待値(平均) $m=E\left(X\right)$ は $\cdots\cdots$
　 $m=E\left(X\right)$
$={x_1}{p_1}+{x_2}{p_2}+{x_3}{p_3}\cdots\cdots +{x_n}{p_n}$

■分散 $V\left(X\right)$ は $\cdots\cdots$
　 $V\left(X\right)=\left({x_1}-m\right)^2{p_1}+\left({x_2}-m\right)^2{p_2}\cdots\cdots+\left({x_n}-m\right)^2{p_n}$

$=\color{red}{E\left(X^2\right)-\left\{E\left(X\right)\right\}^2}$ つまり $\color{red}{\left(X^2の期待値\right)-\left( Xの期待値\right )}$ $\color{red}{^2}$

■標準偏差 $\sigma(X)は\cdots\cdots$

　 $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

$=\color{red}{\sqrt{E(X)^2-\left\{ E(X)^2\right\}}}$ つまり $\color{red}{\sqrt{(X^2の期待値)-(Xの期待値)^2}}$

【例題】
・６本のクジがある
・当たりクジ $2$ 本：はずれクジ $4$ 本
・無作為に $1$ 本づつクジを引く。引いたくじは元に戻さない事とする。
・初めて当たりクジが出るまでに引いた回数を $X$ とする

【問題１】 $X$ の期待値 $E(X)$ を求める
【問題２】 $X$ の分散 $V(X)$ を求める
【問題３】 $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める

■ $X$ の取りうる値は $X=1,2,3,4,5$ である
　ここで $X=k$ であるときの確率を $P(X=k)$ を表す事にする。
・ $P(X=1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
　 ※１回目：６本中２本当たりクジ

・ $P(X=2)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{15}$
　 ※１回目：６本中４本ハズレ
　　２回目：５本中２本当たり

・ $P(X=3)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{5}$
　 ※１回目：６本中４本ハズレ
　　２回目：５本中３本ハズレ
　　３回目：４本中２本当たり

・ $P(X=4)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{15}$
　 ※１回目：６本中４本ハズレ
　　２回目：５本中３本ハズレ
　　３回目：４本中２本ハズレ
　　４回目：３本中２本当たり　

・ $P(X=5)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{2}=\dfrac{1}{15}$
　 ※１回目：６本中４本ハズレ
　　２回目：５本中３本ハズレ
　　３回目：４本中２本ハズレ
　　４回目：３本中１本ハズレ
　　５回目：２本中２本とも当たり　
■確率分布表にまとめる