2022-02-23

期待値（平均値）②

【例】袋の中に１０個の球が入っている
　　　赤球 $\cdots \cdots 3$ 個
　　　白玉 $\cdots \cdots 7$ 個
■袋の中から３個の球を取り出す時次のようなルールを決める
　　　 f:id:ray88:20220223160624p:plain
　　 ■このときの得点の期待値を求める

　【ステップ１】全て確率を求める
※分母は１０個から３個取るので①~④まで共通で $_{10}C_3$

　　①600点（赤球３個のとき）
分子：赤球３個から３個取るので $_3C_3$
確率： $\dfrac{_3C_3}{_{10}C_3}=\dfrac{1}{120}$

　　②360点（赤球２個白球１個のとき）
　　分子：赤球３個から２個・白球７個から１個取るので $_3C_2 \times{_7C_1}$
確率： $\dfrac{_3C_2 \times{_7C_1}}{_{10}C_3}=\dfrac{7}{40}$

③240点のとき（赤球１個白球２個のとき）
　　分子：赤球３個から１個・白球７個から２個取るので $_3C_1 \times{_7C_2}$
確率： $\dfrac{_3C_1 \times{_7C_2}}{_{10}C_3}=\dfrac{21}{40}$ 　

④120点（白球３個のとき）
分子：白球７個から３個取るので $_7C_3$
確率： $\dfrac{_7C_3}{_{10}C_3}=\dfrac{7}{24}$

【ステップ２】確率分布表を作る

f:id:ray88:20220223163913p:plain
【ステップ３】得点の期待値を計算する
　 $600\times\dfrac{1}{120}+360\times\dfrac{7}{40}+240\times\dfrac{21}{40}+120\times\dfrac{7}{24}$

$=5+63+126+35$

$=229$ 点
　　

2022-02-23

期待値（平均値）の求め方

■以下の様な25本のクジがある。

f:id:ray88:20220223143235p:plain
■以下は各クジの当たる確率をまとめた表　 f:id:ray88:20220223143951p:plain

・上記の様な表を確率分布表という

・この表の上段の数値（もらえる賞金の数値）を確率変数という

・上段(確率変数)と下段(確率)の積を全て加えたものが確率分布表の期待値となる

■上記の確率分布表の期待値を求める
$もらえる賞金の期待値=\dfrac{10000\times1+5000\times2+1000\times4+500\times7+100\times11}{25}$

　　　　　　　　　　 $=1144$ 円 (もらえる賞金の期待値つまり平均)

2022-02-23

多項定理

◆多項定理◆

$\left(a+b+c \right)^n$ の $a^P$ $b^Q$ $c^R$ の係数は

$\dfrac{n!}{P!Q!R!}$ となる ※但し $P+Q+R=n$

・一般化すると
$\left(a+b+c+d+\cdots \cdots \right)^n$ の $a^P$ $b^Q$ $c^R$ $d^S$ $\cdots \cdots$ の係数は

$\dfrac{n!}{P!Q!R!S! \cdots \cdots}$ となる ※但し $P+Q+R+S+\cdots \cdots=n$

※ $\left(a+b \right)^n$ の $a^P$ $b^Q$ の係数は

$\dfrac{n!}{P!Q!}$ となる ※但し $P+Q=n$

$=\dfrac{n!}{P!\left ( n-P \right)!}$ $_{P+Q=n}$ $_{より}$ $_{Q＝n-P}$
・２項定理の公式と一致する。２項定理の公式
　２項定理も他行定理の一部にすぎない

【例１】 $\left(a+b+c \right)^7$ を展開したときの $a^2$ $b^3$ $c^3$ の係数を求める
　　　　 $\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)\left(a+b+c \right)$ より $aを2個,bを3個,cを3個とる$ → $aabbbccc$ の並び方

　　　　　　　 $\dfrac{7!}{2!3!3!}=210$ となる

【例２】 $\left(2x+3y-z \right)^6$ を展開したときの ${x^2}y{z^3}$ の係数を求める
　　　　 $\left(2x+3y-z \right)^6$ = $\left\{ 2x+3y+ \left(-z \right) \right\}^6$

・以下を合計して $6$ 個
$2x$ を $2$ 個とる
　　　　 $3y$ を $1$ 個とる
　　　　 $-z$ を $3$ 個とる

　　　　・ $\dfrac{6!}{2!1!3!}\times \left(2x \right)^2 \times 3y \times \left( -z \right)^3$

$=\dfrac{6!}{2!1!3!}\times 2^2 \times 3\times\left(-1\right)\times x^2yz^3$

$=60 \times 4 \times 3 \times \left(-1\right) \times x^2yz^3$

$=720 x^2yz^3$ $\therefore$ $x^2yz^3$ の係数は $-720$

2022-02-14

２項定理_⑤

【例題】
・ $\left ( 2x-\dfrac{3}{x^2} \right )^6$ を展開したときの $x^3$ の係数を求める

・必ず $\left ( ● \color{red}{+} ▲ \right )$ のようにプラスの形式にする
$\left ( 2x-\dfrac{3}{x^2} \right )^6 =\left\{ 2x\color{red}{+}\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}^6$

・ $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}^6$ = $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\} \cdots \left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}$

・６個の $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}$ から $r$ 個の $2x$ を取る $\cdots \cdots {_6C_r}$

・６個の $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right) \right\}$ から $6-r$ 個の $\left ( \dfrac{3}{x^2} \right )$ を取る $\cdots \cdots {_6C_{6-r}}$

・ $\left\{ 2x+\left( -\dfrac{3}{x^{2}}\right)^6 \right\}$ を展開したときの一般項は ${_6C_r}\times \left(2x \right)^r \times \left( - \dfrac{3}{x^2} \right )^{6-r}$
$={_6C_r}\times 2^r \times x^r \times \dfrac{\left(-3^2 \right)^{6-r}}{\left(-x^2 \right)^{6-r}}$

$={_6C_r}\times 2^r \times \left ( -3 \right )^{6-r} \times \dfrac{x^r}{x^{2\left(6-r\right)}}$ $_{ \left ( -3 \right )^{6-r}}$ $_と$ $_{x^r}$ $_{を並べ替える}$

$={_6C_r} \times 2^r \times \left( -3 \right )^{6-r} \times x^{3r-12}$ $_{途中計算式 : }$ $_{x^r ÷ x{^2\left ( 6-r \right )}}$ $_{=}$ $_{x^{r-2\left ( 6-r \right )}}$ $_{=}$ $_{x^{3r-12}}$

・つまり $x^{3r-12}$ の係数は ${_6C_r}\times 2^r \times \left( -3 \right )^{6-r}$ となる

・ $x^3$ の項を考えるとき、 $x^{3r-12}$ より

　 $3r-12=3$ $\therefore$ $r=5$

・ $x^3$ の係数は ${_6C_r}\times 2^r \times \left( -3 \right )^{6-r}$ より

${_6C_5}\times 2^5 \times \left( -3 \right )^{6-5}$

$=6 \times 32 \times \left ( -3 \right ) = -576$

2022-02-13

２項定理_④

【例題】
・ $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )^5$ を展開したときの $x^4$ の係数を求める

■ $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )^5=\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )$

・５個の $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )$ から $r$ 個の $3x^2$ を取る $\cdots \cdots _5C_r$

・５個の $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )$ から $5-r$ 個の $\dfrac{2}{x}$ を取る $\cdots \cdots _5C_{5-r}$

■ $\left ( 3x^2 + \dfrac{2}{x} \right )^5$ の一般項は

$_5C_r \times \left ( 3x^2 \right )^r \times \left ( \dfrac{2}{x} \right )^{5-r}$

$={_5C_r} \times 3r \times \left ( x^2 \right )^r \times \dfrac{2^{5-r}}{x^{5-r}}$

※ $2^{5-r} と x^{2r} を並べ替えた$

$={_5C_r} \times 3r \times 2^{5-r} \times \dfrac{x^{2r}}{x^{5-r}}$

※ $\dfrac{x^{2r}}{x^{5-r}} = x^{2r} ÷ \left ( x^{5-r} \right )=x^{2r- \left ( 5-r \right)}=x^{3r-5}$

$={_5C_r} \times 3r \times 2^{5-r} \times x^{3r-5}$

つまり $x^{3r-5}$ の係数は ${_5C_r} \times 3^r \times 2^{5-r}$

■ $x^4$ の項をかんがえるとき $x^{3r-5}$ より

　 $3r-5 = 4$ $\therefore$ $r=3$

■よって $x^{4}$ の係数は ${_5C_r} \times 3^r \times 2^{5-r}$ より

　　 $_5C_3 \times 3^3 \times 2^{5-3} = 1080$ 　　　　　　　

2022-02-13

２項定理_③

【例題】
・ $\left ( 2x + 3y \right )^7$ を展開したときの $x^3$ $y^4$ の係数を求める

■ $\left ( 2x + 3y \right )^7=\left ( 2x + 3y \right )+\left ( 2x + 3y \right )+\left ( 2x + 3y \right )\cdots \cdots \left ( 2x + 3y \right )$

・ $7$ 個の $\left ( 2x + 3y \right )$ から $3$ 個の $2x$ を取る $\cdots \cdots _7C_3$

・ $7$ 個の $\left ( 2x + 3y \right )$ から $4$ 個の $3y$ を取る $\cdots \cdots _7C_4$

■ ｛ $2x,2x,2x,3y,3y,3y,3y$ ｝の並び方は $_7C_3$ または $_7C_4$

■上記より $x^3$ $y^4$ の係数は

　 $_7C_3 \times \left ( 2x \right )^3 \times \left ( 3y \right )^4$

$=\dfrac{7 \times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\times 8x^3 \times 81y^4$

$=35 \times 8x^3 \times 81y^4$

$=22680$ $x^3$ $y^4$

$\therefore$ よって $x^3$ $y^4$ の係数は $22680$

【例題】
・ $\left ( 5x -2y \right )^5$ を展開したときの $x^2$ $y^3$ の係数を求める

■ $\left ( 5x - 2y \right )^5=\left (5x - 2y \right )+\left ( 5x - 2y \right )+\left ( 5x - 2y \right )\cdots \cdots \left ( 5x - 2y \right )$

・ $5$ 個の $\left ( 5x - 2y \right )$ から $2$ 個の $5x$ を取る $\cdots \cdots _5C_2$

・ $5$ 個の $\left ( 5x - 2y \right )$ から $3$ 個の $2y$ を取る $\cdots \cdots _5C_3$

■ ｛ $5x,5x,2y,2y,2y$ ｝の並び方は $_5C_2$ または $_5C_3$

■ポイント：必ず $\left ( ●x \color{red}{+} ▲y \right )$ の形式になるようにする(プラスの形になるようにする)

　　　　　→ $\left ( 5x - 2y \right )^5 = \{ 5x \color{red}{+} \left ( -2y \right ) \}^5$

$_5C_2 \times \left ( 5x \right )^2 \times \left ( -2y \right )^3$

$=\dfrac{5 \times 4}{2\times 1} \times 25x^2 \times \left ( -8y^3 \right )$

$=-2000$ $x^2$ $y^3$

$\therefore$ $x^2$ $y^3$ の係数は $-2000$

2022-02-13

２項定理_②

◆公式◆

$\left ( a + b \right )^n$ の $a^r$ $b^{n-r}$ の係数は
${_nC_r}$ または $\dfrac{n!}{r! \left( n-r \right )}$
※但し指数の合計が $r+n-r =n$ となることに注意する

【例題】
・ $\left ( a+b \right )^5$ を展開したときの $a^2$ $b^3$ の係数を求める

■ $\left ( a+b \right )^5=\left ( a+b \right ) +\left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right )$

・ $a^2 \cdots \cdots 5$ 個の $\left ( a+b \right )$ より $2$ つの $a$ を取り出す $\cdots {_5C_2}$ または $\dfrac{5!}{2!}$

・ $b^2 \cdots \cdots 5$ 個の $\left ( a+b \right )$ より $3$ つの $b$ を取り出す $\cdots {_5C_3}$ または $\dfrac{5!}{3!}$

■以上より $a^2$ $b^3$ つまり｛ $aabbb$ ｝の並び方は

${_5C_2}$ 　または　 ${_5C_3}$ 　または $\dfrac{5!}{2!3!}$

■｛ $aabbb$ ｝の並び方より $a^2$ $b^3$ の係数は
　 ${_5C_2}=10$

【例題】
・ $\left ( a+b \right )^{10}$ を展開したときの $a^3$ $b^7$ の係数を求める

■ $\left ( a+b \right )^{10}=\left ( a+b \right ) +\left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) + \left ( a+b \right ) \cdots \cdots \left ( a+b \right )$